This article will appear in English in the forthcoming electronic periodical _Forum Geometricorum_.

                            E U C L I D E S

          TIJDSCHRIFT VOOR DE DIDACTIEK DER EXACTE VAKKEN
          ONDER LEIDING VAN Dr H. STREEFKERK, P. WIJDENES,
          Dr H. A. GRIBNAU VOOR WIMECOS EN J. WILLEMSE VOOR
                               LIWENAGEL.

25e JAARGANG 1949/50




[p. 144]

[O. BOTTEMA]:
                     XXVI. HET VRAAGSTUK VAN MALFATTI.

  Bij deze welbekende opgave wordt de constructie gevraagd van
drie cirkels C'_1, C'_2 en C'_3 die elkaar twee aan twee raken en
waarbij C'_1 raakt aan de zijden A_1A_2 en A_1A_3 van een gegeven
driehoek A_1A_2A_3, terwijl C'_2 raakt aan A_2A_3 en A_2A_1 en C_'3 aan
A_3A_1 en A_3A_2. Het vraagstuk werd gesteld door Malfatti in 1803
en door hem opgelost met behulp van een algebraische analyse.
Zeer bekend is de buitengewoon elegante meetkundige oplossing,
die Steiner in 1826 zonder bewijs mededeelde en die men, veelal
met de door Hart in 1857 gegeven bewijsvoering in verschillende
leerboeken vindt. Steiner heeft ook uitbredingen van de opgave
aangegeven en de oplossing ervan medegedeeld; de eerste is die
waarbij de gegeven rechten A_2A_3, A_3A_1 en A_1A_2 vervangen worden
door cirkels; verdere generalisaties betrefen de figuur van drie
cirkels op een bol en van drie kegelsneden op een kwadratisch
oppervlak. In de negentiende eeuw hebben een groot aantal wis-
kundigen zich met het probleem bezig gehoudem, o.a. Cayley
(1852), Schellbach (die in 1853 een zeer fraaie goniometrische
oplossing bekend maakte) en Clebsch (die in 1857 de oplossing
van Schellbach uitbreidde tot drie kegelsneden op een kwa-
dratisch oppervlak en daarbij gebruik maakte van elliptische
functies). Laat men bij het oorspronkelijke vraagstuk van Mal-
fatti ook aangeschreven en elkaar inwendig rakende cirkels toe,
dan zijn er in 't geheel 32 (re"le) oplossingen, die men b.v. alle
vindt aangegeven bij Pampuch (1904). De genoemde generali-
saties hebben zelfs, zoals uit het onderzoek van Clebsch blijkt,
64 oplossingen.
   De literatuur over het probleem is dusdanig omvangrijk en
bovendien zo verspreid, dat het vrijwel ondoenlijk is haar geheel te
raadplegen. Voor zover wij hebben kunnen negaan, heeft echter
het hier volgende speciale geval van de generalisatie van Steiner
niet de aandacht getrokken. Het is aantrekkelijk door de eenvoud
der uitkomst en door de mogelijkheid van een bepaalde stereome-
trische interpretatie.
Het vraagstuk van Malfatti - Steiner luidt dus als volgt:
gegeven zijn drie cirkels C_1,C_2, en C_3. Gevraagd worden drie cirkels
C'_1,C'_2, en C'_3 zodal C'_1 raakt aan C_2, C_3, C'_2, C'_3 de cirkel C'_2

[p. 145]

aan C_3, C_1, C'_3, C'_1 en C'_3 aan C_1, C_2, C'_1 en C'_2. Wij kiezen nu het
bijzondere geval, waarbij ook de gegeven cirkels C_1, C_2, C_3 elkaar
twee aan twee raken.
  Natuurlijk kan deze opgave volgens de algemene methode van
Steiner opgelost worden. Wij kiezen een andere weg, waarbij de
eenvoud van het probleem onmiddellijk blijkt. Voert men nl. een
inversie uit met het raakpunt van C_2 en C_3 tot centrum, dan gaan
deze cirkels over in twee evenwijdige rechten l-2 en l_3 en C_1 in een
cirkel K, die aan beide raakt (fig. 1). Voor deze figuur is de con-
structie der gevraagde cirkels K_i uiterst eenvoudig. Is 4r de afstand
van l_2 en l_3 dan zijn de stralen van K_2 en K_3 gelijk aan r, die van
K_1 gelijk aan 2r, terwijl de afstand van de middelpunten van K
en K_1 gelijk aan 4rsqrt(2). En blijkbaar heeft het vraagstuk steeds
twee (ree"le) oplossingen.
  Ons doel is de berekening van de stralen R'_1, R'_2 en R'_3 van C'_1.
C'_2 en C'_3 als de stralen R_1, R_2 en R_3 van de gegeven cirkels C_1,

           l_2 ____________________________________________

                                   K_2

                       K ----------------------- K_1

                                   K_3
           l_3 ____________________________________________

C_2 en C_3 (en daarmede dus de figuur van deze cirkels) gegeven
zijn. Daartoe onderwerpen wij de figuur 1 aan een willekeurige
inversie. Zij O het centrum en kiezen wij een rechthoekig assen-
stelsel met O tot oorsprong en zo dat de X-as evenwijdig is met
l_2 en l_3; voor de macht van inversie kunnen wij zonder bezwaar de
eenheid nemen. De inversie wordt den voorgesteld door

                z                      y
       z' = ----------,     y' =  -----------
             x^2 + y^2             x^2 + y^2

en hieruit blijkt zonder moeite, dat de cirkel met middelpunt
(x_0, y_0) en de straal rho overgaat in een cirkel, waarvan de straal
gelijk is aan  |              rho            |
               | --------------------------- |. Heeft het middelpunt van K de
               | (x_0)^2 + (y_0)^2 - (rho)^2 |

coo"rdinaten a, b, dan zijn die van K_1 = (a + 4rsqrt(2)), b. Hieruit volgt

      |       2r        |         |               2r             |
R_1 = |---------------- |, R'_1 = | ---------------------------- |
      |a^2 + b^2 - 4r^2 |         | (a+4rsqrt(2))^2 + b^2 - 4r^2 |


[p. 146]

De rechten l_2 en l_3 gaan door de inversie over in cirkels, waarvan
de stralen zijn.

                   1                  1
         R_2 = ---------,   R_3 = ----------
               2|b - 2r|           2|b + 2r|

Wij zullen nu eerst veronderstellen, dat O tussen l_1 en l_2 gekozen
wordt en buiten K. De cirkels C_1, C_2 en C_3 raken elkaar dan twee
aan twee uitwendig. Men heeft b - 2r < 0, b + 2r > 0, a^2 + b^2 > 4r^2
dus

                   1                  1                     2r
         R_2 = ---------,   R_2 = ----------,  R_1 = ----------------
               2(2r - b)           2(2r + b)         a^2 + b^2 - 4r^2

waaruit volgt
        1         1         1          1           1     1      1
a = +- --- sqrt(------ + -------- + -------), b = --- (---- - -----),
        2        R_2R_3    R_3R_1     R_1R_2       4    R_3    R_2

     1     1     1
r = --- (---- + ----) zodat men voor e'e'n der oplossingen heeft:
     8    R_3   R_2


 1       1       2       2                1          1         1
---- = ----- + ----- + ---- + 2sqrt(2) (------- + ------- + -------)
R'_1    R_1     R_2     R_3             R_2R_3     R_3R_1    R_1R_2

Evenzo heeft men

 1       2       1       2                1          1         1        (1)
---- = ----- + ----- + ---- + 2sqrt(2) (------- + ------- + -------)
R'_2    R_1     R_2     R_3             R_2R_3     R_3R_1    R_1R_2

 1       2       2       1                1          1         1
---- = ----- + ----- + ---- + 2sqrt(2) (------- + ------- + -------)
R'_3    R_1     R_2     R_3             R_2R_3     R_3R_1    R_1R_2

terwijl de tweede oplossing wordt gevonden door in de rechterleden
de wortelvorm door het tegengestelde te vervangen en daarna de
modulus van het rechterlid te nemen. Terwijl de eerste oplossing
bestaat uit drie cirkels, die elkaar twee aan twee uitwendig raken,
zijn voor de tweede verschillende omstandigheden mogelijk: zij be-
staat uit drie elkaar uitwendig rakende cirkels of uit drie cirkels,
waarvan er twee elkaar uitwendig raken, terwijl de derde de beide
andere inwendig raakt. Van de juistheid van deze opmerking over-
tuigt men zich het beste door het punt O resp. te kiezen buiten
elk der cirkels K_1, K_2 en K_3, dan wel binnen een van deze. Neemt
men O up de omtrek van een dezer cirkels, dan wel in het raakpunt
van twee dezer cirkels, dan komen in de oplossing e'e'n, resp. twee
rechte lijnen voor.
   Neemt men tenslotte O buiten de door l_2 en l_3 begrensde strook,
dan wel binnen K, dan onstaat het geval waarbij in de figuur der
gegeven cirkels twee inwendige en e'e'n uitwendige raking voorkomen.

[p. 147]

Is C_1  de cirkel, welke C_2, C_3 inwendig raakt, dan moet men in de
oplossing (1) de grootheid R_1 door - R_1 vervangen en hetzelfde
gelbt voor de tweede oplossing. Beide oplossingen bestaan nu uit
cirkels, die elkaar twee aan twee uitwending raken. Men kan overigens
(1) en de overseenkomstige uitdrukking, waarin de wortelvorm
tegengesteld is genomen, als de algemene oplossing voor elk geval
opvatten, indien men afspreekt ook negatieve waarden voor een
straal toe te laten en af te spreken, dat twee uitwndig rakende
cirkels stralen van het zelfde teken, inwendig rakende zulke van
verschillend teken bezitten. Er zijn twee cirkels, welkde de drie
gegeven cirkels raken. Ook dit blijkt onmiddellijk uit fig. 1. In deze
figuur zijn de stralen dezer cirkels beide 2r, de coo"rdinaten van hun
middelpunten a +- 4r. Na inversie vindt men voor de stralen dezer
"ingeschreven" cirkels van de figuur C_1, C_2, C_3:

            1       1       1              1          1         1
rho_1,2 = ---- +  ----- + ----- +- 2sqrt(------- + ------- + -------) .....(2)
           R_1     R_2      R_3           R_2R_3    R_3R_1    R_1R_2

uitdrukkingen, die grote analogie vertonen met (1); men vondt ze
reeds bij Steiner (Werke I, pg. 61 - 63, met een verhelderende
aantekening van Weierstrasz, pg. 524). Terwijl rho_1 altijd positief
is, kan 1/rho_2 groter dan, gelijk aan, of kleiner dan nul zijn. Een der
cirkels raakt de gegeven cirkels alle uitwendig, de andere raakt
hen alle uitwendig of alle inwendig (of is in het overgangsgeval
een rechte). Ook  deze eigenschappen leest men gemakkelijk uit
fig. 1 af. Steiner bewijst (2) door een rechtstreekse berekening met
behulp van de hoogtelijnformule voor een driehoek. Uit (1) en (2)
kan men een groot aantal relaties tussen de stralen R_i der gegeven
cirkels, de stralen R'_i der cirkels van Malfatti en de stralen rho_i
der raakcirkels afleiden; wij noemen slechts

   1       1        1       1       1       1
 ----- + -----  = ----- + ----- = ----- + -----
  R_1     R'_1     R_2     R'_2    R_3     R'_3

   Over de formules (1) willen  wij nog enkele opmerkingen maken.
Heeft men bij de figuur S der gegeven cirkels C_1C_2C_3 een der beide
stellen S' van cirkels C'_1,C'_2,C'_3 van Malfatti gevonden, dan kan
men op S' de constructie herhalen; e'e'n van de beide stellen cirkels
van Malfatti , die bij S' behoren, is blijkbaar S. Voortgaande ont-
staat een zich in twee richtingen uitstrekkende keten van cirkel-
tripels met de eigenschap, dat van twee opvolgende schakels elk
een Malfatti-figuur is van de andere.
   Door iteratie van de formule (1) kan men de stralen van het n-de

[p. 148]

drietal indrukken in de stralen van de cirkels, waarvan men is
uitgegaan. Past men (1) toe op 1/R'_i, dan krijgt men, de negatieve
wortel kiezend, 1/R_i terug. Voor het nieuwe stel ontstaat er

 1      17      16      16                1          1         1
---- = ----- + ----- + ---- + 20sqrt(2) (------- + ------- + -------) en cycl.
R"_1    R_1     R_2     R_3             R_2R_3     R_3R_1    R_1R_2

terwijl voor de volgende schakels gevonden wordt

  1      161     162     162                 1          1         1
----- = ----- + ----- + ---- + 198sqrt(2) (------- + ------- + -------)
R(3)_1   R_1     R_2     R_3                R_2R_3     R_3R_1   R_1R_2

  1     1601    1600    1600                   1         1         1
----- = ----- + ----- + ---- + 1960sqrt(2) (------- + ------- + -------)
R(4)_1   R_1     R_2     R_3                 R_2R_3    R_3R_1    R_1R_2

Stelt men

  1       a_2p + 1     a_2p    a_2p                 1        1        1
------- = --------- + ----- + ---- + b_2psqrt(2) (------ + ------ + ------)
R(2p)_1     R_1         R_2    R_3                 R_2R_3   R_3R_1   R_1R_2


  1          a_2p+1 + 1    a_2p+1 + 2     a_2p+1 + 2
--------  = ------------ + ----------- + ----------- +
R(2p+1)_1       R_1             R_2           R_3

                                                     1         1       1
                                 + b_2p+1sqrt(2) (------- + ------ + ------)
                                                   R_2R_3   R_3R_1   R_1R_2

dan vindt men:

a_(2p+1)  = 10a_(2p) - a_(2p-1), a_(2p) = 10a_(2p-1) - a_(2p-2) + 16,

b_k = 10b_(k-1) - b_(k-2)
uit welke recurrente bettrekkingen men de stralen der tripels be-
rekenen kan.
  De figuur van drie elkaar twee aan twee rakende cirkels C_1C_2C_3
vormt met een stel Malfatti-cirkels C'_1C'_2C'_3 een configuratie
van 6 cirkels, waarvan elke vier der overige raakt. Beeldt men
de cirkels van het vlak af op de punten van een driedimensionale
projectieve ruimte, waarbij de puntcirkels met de punten van een
kwadratisch oppervlak W [=Omega] corresponderen, dan komt met de com-
figuratie een octaeder overeen, waarvan de ribben aan W raken.
De constructie, die aan de orde was, komt dus neer op de volgende
stereometrische opgave: om een kwadratisch oppervlak W  (b.v. om
een bol) een octaeder te construeren, welks ribben aan W raken en
waarvan de hoekpunten van een zijvlak gegeven zijn. Dit probleem
blijkt dus twee oplossingen te hebben. En met de bovengenoemde
keten correspondeert een keten van driehoeken, alle omgeschreven
om W en met de eigenschap, dat twee opvolgende driehoeken over-
staande zijvlakken zijn van een omgeschreven octaeder.

[p. 149]

  Uit de boven afgeleide betrekkingen tussen de stralen der cirkels
blijkt, dat deze als men in de ene richting van de keten gaat steeds
kleiner, en dus in de andere richting steeds groter worden, een
omstandigheid, die ook uit de figuur blijkt. In de ene richting
gaande zal dus het cirkeltripel verschrompelen tot een enkel punt.
Met de vraag hoe dit punt ten opzichte van de drie oorsponkelijke
cirkels gelegen is, moge deze bescheiden bijdrage tot de kennis van
het merkwaardige probleem van Malfatti worden besloten.