Note: In order to visualize the contents of this file properly, please open it from a web browser. Another example more detailed, this time for permutations of the first 4 natural numbers. A brief description of the bending process is included. ---------------------------------------------------------------------- By applying some algorithm to generate permutations, let us say the Steinhaus-Johnson-Trotter algorithm (see A207324), the permutations set for the first 4 natural numbers is: { 1234, 1243, 1423, 4123, 4132, 1432, 1342, 1324, 3124, 3142, 3412, 4312, 4321, 3421, 3241, 3214, 2314, 2341, 2431, 4231, 4213, 2413, 2143, 2134 } But they are not ordered yet, then by applying a numerical sort { 1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431, 3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321 } Subtracting term a term with: { 1234, 1234, 1234, 1234, 1234, 1234, 1234, 1234, 1234, 1234, 1234, 1234, 1234, 1234, 1234, 1234, 1234, 1234, 1234, 1234, 1234, 1234, 1234, 1234 } The first set of differences mentioned above divided by 9 is (See the matching terms with A215940): { 0, 1, 10, 12, 21, 22 100, 101, 120, 123, 131, 133, 210, 212, 220, 223, 242, 243, 321, 322, 331, 333, 342, 343 } And finally the other set of differences, what we are looking is: { 1, 9, 2, 9, 1, 78, 1, 19, 3, 8, 2, 77, 2, 8, 3, 19, 1, 78, 1, 9, 2, 9, 1 } These elements are the first 4! terms of this sequence. The symmetry center for this case (permutations for N=4) is the 12th term, because by deleting it and the zero starting this sequence, only left an even amount of terms which are repeated once according to their offsets relative to the symmetry center, as shown in the following transformations: 0) { 0, 1, 9, 2, 9, 1, 78, 1, 19, 3, 8, 2, 77, 2, 8, 3, 19, 1, 78, 1, 9, 2, 9, 1 }; Delete the zero, 1) { 1, 9, 2, 9, 1, 78, 1, 19, 3, 8, 2, 77, 2, 8, 3, 19, 1, 78, 1, 9, 2, 9, 1}; Split apart in three pieces one of them the symmetry center, 2) { 1, 9, 2, 9, 1, 78, 1, 19, 3, 8, 2 }; { 77 }; { 2, 8, 3, 19, 1, 78, 1, 9, 2, 9, 1 }; Delete the symmetry center, 3) { 1, 9, 2, 9, 1, 78, 1, 19, 3, 8, 2 }; { 2, 8, 3, 19, 1, 78, 1, 9, 2, 9, 1 }; Reflect one of the pieces, 4) { 1, 9, 2, 9, 1, 78, 1, 19, 3, 8, 2 }; { 1, 9, 2, 9, 1, 78, 1, 19, 3, 8, 2 }; A new kind of center becomes evident after this step. Since all the possible permutation sets have all in common some terms from this sequence, we may expect find again these "centers" when developing another cases. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Another example more, now for demonstrate what is called here: "bending" a sequence, --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- What you see at next is the result of "bending" a segment of the first 7!, 6!, 5!, 4!, or 3! terms of this sequence (respectively on each pair of columns). Imagine you write the terms of this sequence over a thin wire enough flexible to be able of bending it. By doing this as described above, you may find out that the terms in the same rows have identical values and the corresponding offsets sums n! in each case, excepting the term placed with offset (n!/2), which is a maximun relative to the rest of terms for its respective segment of the sequence (this is, relative to its respective column). 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 1 1 5040 2 1 1 720 2 1 1 120 2 1 1 24 2 1 1 6 3 9 9 5039 3 9 9 719 3 9 9 119 3 9 9 23 3 9 9 5 4 2 2 5038 4 2 2 718 4 2 2 118 4 2 2 22 4 2 5 9 9 5037 5 9 9 717 5 9 9 117 5 9 9 21 6 1 1 5036 6 1 1 716 6 1 1 116 6 1 1 20 7 78 78 5035 7 78 78 715 7 78 78 115 7 78 78 19 8 1 1 5034 8 1 1 714 8 1 1 114 8 1 1 18 9 19 19 5033 9 19 19 713 9 19 19 113 9 19 19 17 10 3 3 5032 10 3 3 712 10 3 3 112 10 3 3 16 11 8 8 5031 11 8 8 711 11 8 8 111 11 8 8 15 12 2 2 5030 12 2 2 710 12 2 2 110 12 2 2 14 13 77 77 5029 13 77 77 709 13 77 77 109 13 77 14 2 2 5028 14 2 2 708 14 2 2 108 15 8 8 5027 15 8 8 707 15 8 8 107 16 3 3 5026 16 3 3 706 16 3 3 106 17 19 19 5025 17 19 19 705 17 19 19 105 18 1 1 5024 18 1 1 704 18 1 1 104 19 78 78 5023 19 78 78 703 19 78 78 103 20 1 1 5022 20 1 1 702 20 1 1 102 21 9 9 5021 21 9 9 701 21 9 9 101 22 2 2 5020 22 2 2 700 22 2 2 100 23 9 9 5019 23 9 9 699 23 9 9 99 24 1 1 5018 24 1 1 698 24 1 1 98 25 657 657 5017 25 657 657 697 25 657 657 97 26 1 1 5016 26 1 1 696 26 1 1 96 27 9 9 5015 27 9 9 695 27 9 9 95 28 2 2 5014 28 2 2 694 28 2 2 94 29 9 9 5013 29 9 9 693 29 9 9 93 30 1 1 5012 30 1 1 692 30 1 1 92 31 178 178 5011 31 178 178 691 31 178 178 91 32 1 1 5010 32 1 1 690 32 1 1 90 33 29 29 5009 33 29 29 689 33 29 29 89 34 4 4 5008 34 4 4 688 34 4 4 88 35 7 7 5007 35 7 7 687 35 7 7 87 36 3 3 5006 36 3 3 686 36 3 3 86 37 66 66 5005 37 66 66 685 37 66 66 85 38 2 2 5004 38 2 2 684 38 2 2 84 39 18 18 5003 39 18 18 683 39 18 18 83 40 4 4 5002 40 4 4 682 40 4 4 82 41 18 18 5001 41 18 18 681 41 18 18 81 42 2 2 5000 42 2 2 680 42 2 2 80 43 67 67 4999 43 67 67 679 43 67 67 79 44 1 1 4998 44 1 1 678 44 1 1 78 45 19 19 4997 45 19 19 677 45 19 19 77 46 3 3 4996 46 3 3 676 46 3 3 76 47 8 8 4995 47 8 8 675 47 8 8 75 48 2 2 4994 48 2 2 674 48 2 2 74 49 646 646 4993 49 646 646 673 49 646 646 73 50 1 1 4992 50 1 1 672 50 1 1 72 51 19 19 4991 51 19 19 671 51 19 19 71 52 3 3 4990 52 3 3 670 52 3 3 70 53 8 8 4989 53 8 8 669 53 8 8 69 54 2 2 4988 54 2 2 668 54 2 2 68 55 67 67 4987 55 67 67 667 55 67 67 67 56 1 1 4986 56 1 1 666 56 1 1 66 57 29 29 4985 57 29 29 665 57 29 29 65 58 4 4 4984 58 4 4 664 58 4 4 64 59 7 7 4983 59 7 7 663 59 7 7 63 60 3 3 4982 60 3 3 662 60 3 3 62 61 176 176 4981 61 176 176 661 61 176 62 3 3 4980 62 3 3 660 63 7 7 4979 63 7 7 659 64 4 4 4978 64 4 4 658 65 29 29 4977 65 29 29 657 66 1 1 4976 66 1 1 656 67 67 67 4975 67 67 67 655 68 2 2 4974 68 2 2 654 69 8 8 4973 69 8 8 653 70 3 3 4972 70 3 3 652 71 19 19 4971 71 19 19 651 72 1 1 4970 72 1 1 650 73 646 646 4969 73 646 646 649 74 2 2 4968 74 2 2 648 75 8 8 4967 75 8 8 647 76 3 3 4966 76 3 3 646 77 19 19 4965 77 19 19 645 78 1 1 4964 78 1 1 644 79 67 67 4963 79 67 67 643 80 2 2 4962 80 2 2 642 81 18 18 4961 81 18 18 641 82 4 4 4960 82 4 4 640 83 18 18 4959 83 18 18 639 84 2 2 4958 84 2 2 638 85 66 66 4957 85 66 66 637 86 3 3 4956 86 3 3 636 87 7 7 4955 87 7 7 635 88 4 4 4954 88 4 4 634 89 29 29 4953 89 29 29 633 90 1 1 4952 90 1 1 632 91 178 178 4951 91 178 178 631 92 1 1 4950 92 1 1 630 93 9 9 4949 93 9 9 629 94 2 2 4948 94 2 2 628 95 9 9 4947 95 9 9 627 96 1 1 4946 96 1 1 626 97 657 657 4945 97 657 657 625 98 1 1 4944 98 1 1 624 99 9 9 4943 99 9 9 623 100 2 2 4942 100 2 2 622 101 9 9 4941 101 9 9 621 102 1 1 4940 102 1 1 620 103 78 78 4939 103 78 78 619 104 1 1 4938 104 1 1 618 105 19 19 4937 105 19 19 617 106 3 3 4936 106 3 3 616 107 8 8 4935 107 8 8 615 108 2 2 4934 108 2 2 614 109 77 77 4933 109 77 77 613 110 2 2 4932 110 2 2 612 111 8 8 4931 111 8 8 611 112 3 3 4930 112 3 3 610 113 19 19 4929 113 19 19 609 114 1 1 4928 114 1 1 608 115 78 78 4927 115 78 78 607 116 1 1 4926 116 1 1 606 117 9 9 4925 117 9 9 605 118 2 2 4924 118 2 2 604 119 9 9 4923 119 9 9 603 120 1 1 4922 120 1 1 602 121 5336 5336 4921 121 5336 5336 601 122 1 1 4920 122 1 1 600 123 9 9 4919 123 9 9 599 124 2 2 4918 124 2 2 598 125 9 9 4917 125 9 9 597 126 1 1 4916 126 1 1 596 127 78 78 4915 127 78 78 595 128 1 1 4914 128 1 1 594 129 19 19 4913 129 19 19 593 130 3 3 4912 130 3 3 592 131 8 8 4911 131 8 8 591 132 2 2 4910 132 2 2 590 133 77 77 4909 133 77 77 589 134 2 2 4908 134 2 2 588 135 8 8 4907 135 8 8 587 136 3 3 4906 136 3 3 586 137 19 19 4905 137 19 19 585 138 1 1 4904 138 1 1 584 139 78 78 4903 139 78 78 583 140 1 1 4902 140 1 1 582 141 9 9 4901 141 9 9 581 142 2 2 4900 142 2 2 580 143 9 9 4899 143 9 9 579 144 1 1 4898 144 1 1 578 145 1657 1657 4897 145 1657 1657 577 146 1 1 4896 146 1 1 576 147 9 9 4895 147 9 9 575 148 2 2 4894 148 2 2 574 149 9 9 4893 149 9 9 573 150 1 1 4892 150 1 1 572 151 278 278 4891 151 278 278 571 152 1 1 4890 152 1 1 570 153 39 39 4889 153 39 39 569 154 5 5 4888 154 5 5 568 155 6 6 4887 155 6 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